Question

蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．

(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；

(2)证明：＋＋＋…＋<.

 

Answer 1

（1）f(n)＝3n2－3n＋1

（2）见解析

【解析】【解析】
(1)f(4)＝37，f(5)＝61.

由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，

f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，

f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，

f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，

…

因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，

所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)

＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1

＝3n2－3n＋1.

又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，

所以f(n)＝3n2－3n＋1.

(2)证明：当k≥2时，

＝<＝ (－)．

所以＋＋＋…＋<1＋ [(1－)＋(－)＋…＋(－)]

＝1＋ (1－)<1＋＝.