Question

3．棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA=2BC=4，则该球的表面积为$\frac{112}{3}$π．

Answer 1

分析 由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．

解答 解：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、P扩展为三棱柱，
上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
PA=2BC=4，OE=2，△ABC是正三角形，∴AB=2，
∴AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
AO=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{\frac{28}{3}}$．
所求球的表面积为：4π（$\sqrt{\frac{28}{3}}$）²=$\frac{112}{3}$π．
故答案为：$\frac{112}{3}$π．

点评 本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．