Question

1．（1）现有5名男生和3名女生．若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？
（2）从{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax²+bx+c的系数，问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？
（3）已知（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数．

Answer 1

分析 （1）分三步完成：先从3名女生中选出2名，有$C_3^2$种方法，再从5名男生中选出3名，有$C_5^3$种方法，将选择出的5人全排列，有$A_5^5$，根据分步计数原理即可得出．
（2）由抛物线过原点，可得c=0，c只有1种取法．对顶点分类讨论：当顶点在第一象限时，必开口向下，且对称轴在y轴右边，可得a＜0，b＞0．当顶点在第三象限时，必开口向上，且对称轴在y轴左边，可得a＞0，b＞0，进而得出．
（3）（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的若展开式通项${T_{r+1}}=C_n^r{（\frac{1}{2}）^{n-r}}{（2x）^r}=C_n^r•{2^{2r-n}}•{x^r}$，由第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，可得$C_n^4+C_n^6=2C_n^5$，解得n，再利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．

解答 解：（1）分三步完成：先从3名女生中选出2名，有$C_3^2$种方法，再从5名男生中选出3名，有$C_5^3$种方法，将选择出的5人全排列，有$A_5^5$，
根据分步计数原理，共有$C_3^2$$C_5^3$$A_5^5$=3600种；
（2）∵抛物线过原点，∴c=0，c只有1种取法；
当顶点在第一象限时，必开口向下，且对称轴在y轴右边，∴a＜0，b＞0，
∴a可取-1，-2，-3，有3种方法；b可取1，2，3，4，有4种方法，
共得到3×4=12条抛物线．
当顶点在第三象限时，必开口向上，且对称轴在y轴左边，∴a＞0，b＞0，
即a，b只能在1，2，3，4中取，由于a，b不相同，所以有$A_4^2$种取法，
得到$A_4^2$条抛物线…（8分） 所以共有不同的抛物线条数为$A_4^2$+12=24条．…（9分）
（3）（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的若展开式通项${T_{r+1}}=C_n^r{（\frac{1}{2}）^{n-r}}{（2x）^r}=C_n^r•{2^{2r-n}}•{x^r}$
∵第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，
∴$C_n^4+C_n^6=2C_n^5$，解得n=7或n=14，
∴当n=7时，二项式系数最大的项是T₄和T₅，
其中T₄=$C_7^3•{2^{6-7}}{x^3}=\frac{35}{2}{x^3}$，T₅=$C_7^4•{2^{8-7}}x=70x$，系数分别为$\frac{35}{2}$，70．
∴当n=14时，二项式系数最大的项是T₈=$C_{14}^7•{2^{14-14}}{x^7}=C_{14}^7{x^7}$，系数为$C_{14}^7$=3432．

点评 本题考查了二项式定理与组合数的性质、分步计数原理、抛物线的性质、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．