Question

若不等式对一切实数x恒成立，则a的取值范围是________．

Answer 1

分析：不等式即 对一切实数x恒成立．当a＞1时，由单调性知 x²-2ax＞-x-1 恒成立，故有△＜0，解得＞a＞1．当1＞a＞0时，应有 x²-2ax+x+1＜0恒成立，由二次函数的性质知，这不可能，进而可得答案
解答：∵不等式对一切实数x恒成立，即 对一切实数x恒成立．
当a＞1时，故 x²-2ax＞-x-1 恒成立，∴x²-2ax+x+1＞0 恒成立，
∴△=（1-2a）²-4＜0，∴-＜a＜，故有 ＞a＞1．
当1＞a＞0时，故有 x²-2ax＜-x-1 恒成立，∴x²-2ax+x+1＜0恒成立，
由二次函数的性质知，这是不可能的．
综上，a的取值范围为 ＞a＞1，
故答案为 （1，）．
点评：本题考查指数函数的单调性和特殊点，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．