Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E、F、G分别是棱AB、AD、D₁A₁的中点．
（1）求证：BG∥平面A₁EF：
（2）若P为棱CC₁上一点，求当$\frac{CP}{P{C}_{1}}$等于多少时，平面A₁EF⊥平面EFP？

Answer 1

分析 （1）连接BD、DG，证明平面BGD∥平面A₁EF，再证明BG∥平面A₁EF；
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用平面A₁EF的法向量与平面EFP的法向量互相垂直，即可求出$\frac{CP}{P{C}_{1}}$的值．

解答 解：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是棱AB、AD、D₁A₁的中点，
连接BD、DG，则EF∥BD，
GD∥A₁F，
又BD?平面A₁EF，EF?平面A₁EF，所以BD∥平面A₁EF；
同理，GD∥平面A₁EF，
且BD∩GD=D，BD?平面BGD，GD?平面BGD，
所以平面BGD∥平面A₁EF，
又BG?平面BGD，
所以BG∥平面A₁EF；
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，CP=t（0≤t≤1），
A₁（1，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D（0，0，0），E（1，$\frac{1}{2}$，0），F（$\frac{1}{2}$，0，0），P（0，1，t）；
$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{EA}_{1}}$=（0，-$\frac{1}{2}$，1），
设平面A₁EF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{EA}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{-\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-$\frac{1}{2}$）；
又$\overrightarrow{EP}$=（-1，$\frac{1}{2}$，t），
设平面EFP的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EP}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=0}\\{-a+\frac{1}{2}b+tc=0}\end{array}\right.$，
取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{3}{2t}$），
又平面A₁EF⊥平面EFP，
所以$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$=1+1-$\frac{3}{4t}$=0，解得t=$\frac{3}{8}$，
所以CP=$\frac{3}{8}$，
即$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=$\frac{3}{5}$时，平面A₁EF⊥平面EFP．

点评 本题考查了异面直线垂直的证明，也考查了直线与平面平行的证明以及使二面角为直二面角的线段的比值的求法问题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．