Question

12．已知实系数一元二次方程x²+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x₁，x₂，且 0＜x₁＜1＜x₂，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）

• A． （-1，$\frac{1}{2}$）
• B． （-2，$\frac{1}{2}$）
• C． $（-1，-\frac{1}{2}）$
• D． $（-2，-\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，结合对应二次函数性质得到 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析$\frac{b}{a}$的几何意义，然后数形结合即可得到结论．

解答 解：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，
故函数f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上，
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，
$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜1}\end{array}\right.$代入方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1＞0}\\{2a+b+3＜0}\end{array}\right.$
其对应的平面区域如下图阴影示：

$\frac{b}{a}$表示阴影区域上一点与原点边线的斜率，
由图可知$\frac{b}{a}∈（-2，\frac{1}{2}）$，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，结合二次函数零点的关系可得到不等式，属于中档题．