Question

4．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上随机取一个数x，则事件“g（x）≥1”发生的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据题意化简函数f（x），得出ω的值与f（x）的解析式；根据图象平移写出g（x）的解析式，令g（x）≥1，求出“g（x）≥1“的解集，再利用几何概型计算对应的概率值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
其图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，
∴f（x）的最小正周期为T=π，∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
把f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得
函数g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2cos2x的图象，
令g（x）≥1，得cos2x≥$\frac{1}{2}$，
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
在区间$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上满足“g（x）≥1“的区间为[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]；
随机取一个数x，事件“g（x）≥1”发生的概率为
P=$\frac{\frac{π}{6}-（-\frac{π}{6}）}{\frac{π}{2}-（-\frac{π}{2}）}$=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的化简与图象平移问题，也考查了几何概型的应用问题，是综合性题目．