Question

17．函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（-x）+f（x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，则称函数f（x）为“理想函数”，则下列四个函数中：①$f（x）=\frac{1}{x}$；②f（x）=x²，③$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}（x≥0）\\{x^2}（x＜0）\end{array}\right.$；④$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）$可以称为“理想函数”的有③④．

Answer 1

分析 由新定义可得f（x）为奇函数且为减函数，则称函数f（x）为“理想函数”．运用奇偶性的定义和二次函数和反比例函数，以及对数函数的单调性，即可判断．

解答 解：对照新定义可得，函数为奇函数且为减函数，才为“理想函数”．
①$f（x）=\frac{1}{x}$满足f（-x）+f（x）=0，但f（x）在定义域{x|x≠0}不为减函数，则函数f（x）不为“理想函数”；
②f（x）=x²满足f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数，则函数f（x）不为“理想函数”；
③$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}（x≥0）\\{x^2}（x＜0）\end{array}\right.$，当x=0时，f（0）=0；当x＞0时，-x＜0，f（-x）=（-x）²=-f（x）；同样x＜0时，也有f（-x）=-f（x），
综上可得f（x）为奇函数；当x＜0时，f（x）递减；当x＞0时，f（x）也递减；且f（x）连续，故f（x）为“理想函数”；
④$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（\sqrt{{x^2}+1}+x）$，由x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$＞0，当x≥0时，显然成立；当x＜0时，$\sqrt{1+{x}^{2}}$＞-x，
平方可得1+x²＞x²成立，则定义域为R，f（-x）+f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+1-x²）=0，
则f（x）为奇函数；又x＞0时，x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$为递增函数，由复合函数的性质：同增异减，可得f（x）为减函数，
则f（x）为“理想函数”．
故答案为：③④．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的关键，属于中档题．