Question

5．已知点F（1，0），直线l：x=-1，直线l'垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交l'于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）过F做斜率为$\frac{1}{2}$的直线交C于A，B，过B作l平行线交C于D，求△ABD外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）利用题意结合抛物线的定义即可确定轨迹方程；
（2）首先求得圆心坐标，然后结合弦长公式求得半径的值，据此整理计算即可求得最终结果．

解答 解：（1）由垂直平分线的性质可知：PQ=PF，结合抛物线的定义可得Q点的轨迹方程是以F点为焦点，以直线l为准线的抛物线，其轨迹方程C为：y²=4x．
（2）由题意可得，直线l的方程为：$y=\frac{1}{2}（x-1）$，
与抛物线方程C联立整理可得：y²-8y-4=0，则：y₁+y₂=8，y₁y₂=-4，
很明显△ABD外接圆的圆心为线段AB的垂直平分线与x轴的交点，
设AB中点为E，则 ${y}_{E}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=4，{x}_{E}=\frac{（2{y}_{1}+1）+（2{y}_{2}+1）}{2}=9$，
中垂线方程为：y-4=-2（x-9），令y=0可得圆心坐标为：（11，0），
利用弦长公式：$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}×|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{5}×\sqrt{{（{y}_{1}+{y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}=20$，
圆心到直线AB：x-2y-1=0的距离为：$d=\frac{|11-2×0-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{（-2）}^{2}}}=2\sqrt{5}$，
设圆的半径为R，据此有：${R}^{2}={（2\sqrt{5}）}^{2}+{10}^{2}=120$，
则△ABD外接圆的方程是（x-11）²+y²=120．

点评 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．