Question

已知二次函数y=g(x)的图像经过(0，0)，(m，0)，(m+1，m+1)三个不同的点．

(Ⅰ)求y=g(x)的解析式；

(Ⅱ)设f(x)=(x-n)·g(x)(m＞n＞0)，如果b＜a，且当x=a和x=b时，f(x)取得极值，求证：0＜b＜n＜a＜m．

Answer 1

(Ⅰ)解：∵y=g(x)经过点(0,0),(m,0),

可设g(x)=tx(x-m),

又y=g(x)经过点(m+1,m+1),

∴m+1=t(m+1)(m+1-m).

∴t=1.  ∴g(x)=x²-mx. 

(Ⅱ)证明,由(Ⅰ)得:g(x)=x²-mx.

∴f(x)=(x-n)·g(x)=(x-n)(x²-mx)=x³-(m+n)x²+mnx(m＞n＞0)

∴f′(x)=3x²-2(m+n)x+mn,

∵f(x)在x=a和x=b(b＜a)处取到极值，

∴x=a和x=b为方程f′(x)=0的两根.

又∵f′(0)=mn＞0,

f′(n)=n(n-m)＜0, f′(m)=m(m-n)＞0.

且b＜a,0＜n＜m,

f′(x)=3x²-2(m+n)x+mn是二次函数，

二次项系数为3，且3＞0.

∴n、m分别在区间(b、a)、(a,+∞)内，且0在(-∞,b)内.

∴0＜b＜n＜a＜m.