Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，-1），向量$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{4}$，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1．
（1）求向量$\overrightarrow{b}$
（2）若向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=（1，0）的夹角为$\frac{π}{2}$，向量$\overrightarrow{m}$=（cosC，2cos²$\frac{A}{2}$），其中A，B，C是△ABC的内角，且满足2B=A+C，试求|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{m}$|的取值范围
（3）求在（2）条件下取得最小值时A，并求此时能使方程sin（2x+A）=$\frac{m}{2}$在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上存在两个相异实根的m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数量积及夹角计算|$\overrightarrow{b}$|，根据夹角确定$\overrightarrow{b}$的方向；
（2）使用二倍角公式化简$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{m}$，根据A的范围计算（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{m}$）²的范围得出|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{m}$|的取值范围；
（3）利用正弦函数图象得出$\frac{m}{2}$的范围解出．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{2}$，∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{4}$=1，∴$|\overrightarrow{b}|$=1．
∴$\overrightarrow{b}$=（-1，0）或$\overrightarrow{b}$=（0，-1）．
（2）∵向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=（1，0）的夹角为$\frac{π}{2}$，∴$\overrightarrow{b}$=（0，-1）．
∵2B=A+C，A+B+C=π，∴B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．∴cosC=cos（$\frac{2π}{3}-A$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA．
∴$\overrightarrow{m}$=（cosC，2cos²$\frac{A}{2}$）=（cosC，1+cosA）=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA，1+cosA）．
∴$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA，cosA）．
∴（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{m}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA）²+cos²A=$\frac{1}{4}cos2A$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A+1=$\frac{1}{2}$cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$．
∴-1≤cos（2A+$\frac{π}{3}$）$＜\frac{1}{2}$．∴$\frac{1}{2}$≤（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{m}$）²＜$\frac{5}{4}$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤|$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{m}$|＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（3）由（2）知当2A+$\frac{π}{3}$=π时，|$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{m}$|取得最小值，此时A=$\frac{π}{3}$．
令f（x）=sin（2x+A）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．
∵f（x）=$\frac{m}{2}$在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个相异实根，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}≤\frac{m}{2}＜1$．
∴$\sqrt{3}≤m＜2$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换，函数零点的个数判断，属于中档题．