Question

如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）见解析；（2）。

【解析】

试题分析：（1）取DE中点G，连接FG,AG，平面，只需证平面AFG∥平面CBD，又平面，平面，故只需证∥平面CBD，∥平面CBD即可；

（2）要求平面与平面所成锐角的余弦值，需找两平面的法向量，取中点为H，连接DH，可证， 故以中点H为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知是平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量为，然后由空间两向量夹角公式去求平面与平面所成锐角的余弦值。

试题解析：（1）证明：取DE中点G，连接FG,AG，CG.因为 CFDG,所以FG∥CD.因为 CGAB, ,

所以AG∥BC.所以平面AFG∥平面CBD， 所以 AF∥平面CBD.

（2）解: 取中点为H，连接DH.,，

.，.

以中点H为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以的中点坐标为因为，所以 易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为

由

令则，，

,

所以面与面所成角的余弦值为.

考点：（1）空间线面平行、面面平行、线面垂直判定定理的应用；（2）空间两平面夹角的定义、平面法向量的定义的应用；（3）空间向量的基本运算。