Question

10．平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]；
（1）求向量$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{OQ}$的夹角θ的余弦值；
（2）令f（cosx）=cosθ，求f（cosx）的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的夹角公式，结合向量的数量积的坐标表示和向量的模的时即可得到所求；
（2）由（1）可求得f（cosx），由x的范围可求cosx的范围，结合函数的单调性即可求f（cosx）的最小值．

解答 解：（1）cosθ=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OQ}|}$=$\frac{cosx+cosx}{\sqrt{1+co{s}^{2}x}•\sqrt{1+co{s}^{2}x}}$
=$\frac{2cosx}{1+co{s}^{2}x}$，x∈[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]；
（2）f（cosx）=cosθ，可得
f（cosx）=$\frac{2cosx}{1+co{s}^{2}x}$=$\frac{2}{cosx+\frac{1}{cosx}}$，
由x∈[$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，可得cosx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
令t=cosx（t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
则f（t）=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$，由t+$\frac{1}{t}$的导数为1-$\frac{1}{{t}^{2}}$≤0，
即有[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]为减区间，可得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，
取得最大值，且为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
则f（cosx）的最小值为$\frac{2}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了向量的数量积的性质和坐标表示，向量与三角函数及函数的单调性等知识的综合应用，属于中档题．