Question

19．设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c成等比数列，且sinAsinC=$\frac{3}{4}$，则角B=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用等差中项的性质建立a，b和c的关系式，利用正弦定理把边转化成角的正弦，求得sinB的值，进而求得B．

解答 解：∵a，b，c，成等比数列，
∴b²=ac．
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴sin²B=sinAsinC．
又∵sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
∴sin²B=$\frac{3}{4}$．
∵sinB＞0，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
又∵a，b，c成等比数列，
∴b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B=$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理的运用．在解三角形问题中往往通过正弦定理和余弦定理把角和边的问题互化，进而找到解决问题的突破口．