Question

15．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x
（1）将f（x）化简成f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，并求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用平方和公式，二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式即可化简为f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，利用周期公式即可得解f（x）最小正周期；
（2）由已知可求$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]\end{array}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 （本小题满分9分）
解：（1）∵$f（x）=1+sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1$，
∴f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）$\begin{array}{l}∵x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]\end{array}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}+1，f{（x）_{min}}=0$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想，属于基础题．