题目内容

1．若△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin（A-$\frac{π}{6}$）=cosA，且a=3，则b+c的最大值是（　　）
A．6B．5C．4D．2$\sqrt{3}$

分析 由sin（A-$\frac{π}{6}$）=cosA，展开可得sinA=$\sqrt{3}$cosA，解得A．由余弦定理与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由sin（A-$\frac{π}{6}$）=cosA，展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA=cosA，故sinA=$\sqrt{3}$cosA，tanA=$\sqrt{3}$．又0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得：9=b2+c2-2bc$cos\frac{π}{3}$，可得：9=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，化为：（b+c）2≤36，即b+c≤6，
当且仅当b=c=3，即△ABC是正三角形时，b+c取最大值6．
故选：A．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角函数求值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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A．1B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{1}{e}$D．$\frac{1}{2e}$
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A．m+n＞0B．m+n＜1C．m+n=1D．m+n＞1

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