2015年.威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度.分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分.绘制如下频率分布直方图.并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有680人．(I)若市民的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

2015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：

满意度评分	低于60分	60分到79分	80分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	基本满意	满意	非常满意

已知满意度等级为基本满意的有680人．
（I）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；
（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占$\frac{1}{3}$．现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E（X）；
（III）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=$\frac{满意程度的平均分}{100}$）

分析（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值，从而得到市民非常满意的概率，再由市民满意度评分相互独立，利用对立事件概率计算公式能求出现从全市市民中随机抽取4人，至少有2人非常满意的概率．
（Ⅱ）按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为${C}_{15}^{3}$，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）．
（Ⅲ）求出所选样本满意程序的平均得分，从而估计市民满意程度的平均得分，进而求出市民满意度指数，由此判断该项目能通过验收．

解答解：（Ⅰ）由频率分布直方图，知：
a=$\frac{1}{10}$[1-10×（0.035+0.004+0.020+0.014+0.002）]=0.025，
∴市民非常满意的概率为0.025×10=$\frac{1}{4}$，
∵市民满意度评分相互独立，
∴P=1-${C}_{4}^{0}（\frac{1}{4}）^{0}（\frac{3}{4}）^{4}$-${C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{67}{256}$．
（Ⅱ）按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×$\frac{1}{3}=5$人，
从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为${C}_{15}^{3}$，
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{24}{91}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{45}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{10}^{1}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{20}{91}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{2}{91}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{24}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{2}{91}$

E（X）=$0×\frac{24}{91}+1×\frac{45}{91}+2×\frac{20}{91}+3×\frac{2}{91}$=1．
（Ⅲ）所选样本满意程序的平均得分为：
45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7，
估计市民满意程度的平均得分为80.7，
∴市民满意度指数为$\frac{80.7}{100}$=0.807＞0.8，
∴该项目能通过验收．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查满意度指数的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．