Question

如图，菱形ABCD的边长为2，对角线交于点O，DE⊥平面ABCD；
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）若∠ADC=120°，DE=2，BE上一点F满足OF∥DE，求直线AF与平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥BD，DE⊥AC，由此能证明AC⊥BE．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BCE所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线交于点O，
∴AC⊥BD，O为BD中点，
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DE⊥AC，
又DE∩DB=D，∴AC⊥平面BDE，
∵BE?平面BDE，∴AC⊥BE．
（Ⅱ）解：∵∠ADC=120°，DE=2，BE上一点F满足OF∥DE，
∴F是BE中点，OF=1，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（

3

，0，0），F（0，0，1），B（0，1，0），
C（-

3

，0，0），E（0，-1，2），

AF

=（-

3

，0，1），

BC

=（-

3

，-1，0），

BE

=（0，-2，2），
设平面BCE的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BC =- 3 x-y=0 n • BE =-2y+2z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，-3，-3），
设直线AF与平面BCE所成角为θ，
sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=|

-3+0-3

2 21

|=

21

7

．
∴直线AF与平面BCE所成角的正弦值为

21

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．