题目内容
4．
某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，A，B两点为喷泉，圆心O为AB的中点，其中OA=OB=a米，半径OC=10米，市民可位于水池边缘任意一点C处观赏．（1）若当∠OBC=$\frac{2π}{3}$时，sin∠BCO=$\frac{1}{3}$，求此时a的值；
（2）设y=CA2+CB2，且CA2+CB2≤232．
（i）试将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；
（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时，观赏角度∠ACB的最大值不小于$\frac{π}{6}$，试求A，B两处喷泉间距离的最小值．
分析 （1）当∠OBC=$\frac{2π}{3}$时，sin∠BCO=$\frac{1}{3}$，由正弦定理求此时a的值；
（2）（i）利用余弦定理，结合CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，可将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；
（ii）当观赏角度∠ACB的最大时，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得结论．
解答 解：（1）在△OBC中，由正弦定理得，$\frac{OC}{sin∠OBC}=\frac{OB}{sin∠BCO}$，
易得$OB=a=\frac{{20\sqrt{3}}}{9}$．…（3分）
（2）（i）易知AC2=100+a2-20acos∠AOC，BC2=100+a2-20acos∠BOC，
故CA2+CB2=200+2a2，…（5分）
又因为CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，解得0＜a≤4，
即y=200+2a2，a∈（0，4]；…（7分）
（ii）当观赏角度∠ACB的最大时，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得$cos∠ACB=\frac{{C{A^2}+C{B^2}-4{a^2}}}{2CA•CB}≥\frac{{C{A^2}+C{B^2}-4{a^2}}}{{C{A^2}+C{B^2}}}=1-\frac{{2{a^2}}}{{100+{a^2}}}$，
即$cos∠ACB≥1-\frac{{2{a^2}}}{{100+{a^2}}}$…（11分）
由题意可知$1-\frac{{2{a^2}}}{{100+{a^2}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解此不等式得$a≥20-10\sqrt{3}$，
经验证，$20-10\sqrt{3}∈（0，4]$，即$2a≥40-20\sqrt{3}$．…（13分）
答：（1）此时$a=\frac{{20\sqrt{3}}}{9}$；
（2）（i）所得函数关系式为y=200+2a2，a∈（0，4]；
（ii）A，B两处喷泉间距离的最小值为$40-20\sqrt{3}$．…（14分）
点评 本题考查解三角形知识的运用，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
如如，在三棱锥A-BCD中，AB=AD，BC⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F分别是BD，CD的中点．| A． | 6 | B． | 3 | C． | 0 | D． | -6 |