Question

10．极坐标系中，已知曲线C₁：ρ=2cosθ，曲线C₂：ρ=2cos（$θ-\frac{π}{3}$）．
（1）求C₁与C₂交点的直角坐标．
（2）若曲线C₃：θ=$\frac{2π}{3}$（ρ∈R，ρ≠0）分别与C₁，C₂相交于A，B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，分别代入曲线C₁：ρ=2cosθ，曲线C₂：ρ=2cos（$θ-\frac{π}{3}$）．化简即可得到所求直角坐标方程，联立解方程可得两交点；
（2）联立曲线C₃与曲线C₁，曲线C₂，求得A，B的极坐标，即可得到所求弦长|AB|．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲线C₁：ρ=2cosθ，即为x²+y²-2x=0；①
曲线C₂：ρ=2cos（$θ-\frac{π}{3}$），即ρ=2（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），
即ρ²=ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ，即为x²+y²-x-$\sqrt{3}$y=0，②
联立①②解得交点为（0，0），（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R，ρ≠0）}\end{array}\right.$，
得A（-1，$\frac{2π}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R，ρ≠0）}\\{ρ=2cos（θ-\frac{π}{3}）}\end{array}\right.$，
得B（1，$\frac{2π}{3}$），
则|AB|=|1-（-1）|=2．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查两圆的交点和直线与两圆的交点的距离，考查运算能力，属于基础题．