Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，y轴上一点Q的坐标为（0，3）．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若对于直线l：y=x+m，椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且3$\overline{QA}$•$\overline{QB}$＜32，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：c=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知设直线AB的方程，代入椭圆方程，△＞0，求得$-\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$，由韦达定理可知，求得x₁+x₂，x₁•x₂，根据中点坐标公式，求得P点坐标，将P代入直线l的方程，求得向量$\overline{QA}$和$\overline{QB}$，由$\overline{QA}$•$\overline{QB}$-$\frac{32}{3}$=3（3m-1）（m+1）＜0，即可求得m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：c=1，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$a=\sqrt{2}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）由题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程为：y=-x+n．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消y整理可得：3x²-4nx+2n²-2=0，
由△=（-4n）²-12（2n²-2）=24-8n²＞0，解得$-\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$…（5分）
${x_1}+{x_2}=\frac{4n}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{n^2}-3}}{3}$，
设直线AB之中点为P（x₀，y₀），则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2n}{3}$，
由点P在直线AB上得：${y_0}=-\frac{2n}{3}+n=\frac{n}{3}$，
又点P在直线l上，$\frac{n}{3}=\frac{2n}{3}+m$，
所以$m=-\frac{n}{3}∈（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;\;，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$…①…（8分）
又$\overrightarrow{QA}=（{{x_1}\;\;，\;\;{y_1}\;\;，\;\;-3}）$，$\overrightarrow{QB}=（{{x_2}\;\;，\;\;{y_2}\;\;，\;\;-3}）$，
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}-\frac{32}{3}=（{{x_1}\;\;，\;\;{y_1}-3}）•（{{x_2}\;\;，\;\;{y_2}-3}）-\frac{32}{3}$，
=${x_1}{x_2}+（{{y_1}-3}）（{{y_2}-3}）-\frac{32}{3}$，
=n²-2n-3=9m²+6m-3，
=3（3m-1）（m+1）＜0
解得：$-1＜m＜\frac{1}{3}$…②…（11分）
综合①②，m的取值范围为$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;\;，\;\;\frac{1}{3}}）$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．