Question

5．如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，以顶点C为圆心，BC为半径作圆．若$AC=4，tanA=\frac{3}{4}$求AB的长度为5；⊙C截AB所得弦BD的长为$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可知：：∠C=90，AC=4，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，BC=3，利用勾股定理可知：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，过点C作AB垂线，垂足为E，由三角面积相等可知：CE×AB=AC×BC，即可求得CE=$\frac{12}{5}$，利用勾股定理求得BE，由BD=2BE，即可求得BD．

解答 解：由题意可知：∠C=90，AC=4，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=3，
∴在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
过点C作AB垂线，垂足为E，
∵CE×AB=AC×BC，
∴CE=$\frac{12}{5}$，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
BD=2BE=$\frac{18}{5}$，
故答案为：5，$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的应用，考查数形结合思想，属于中档题．