Question

（16分）一束光线从点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点．

（1）求点的坐标；

（2）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

 （3）设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：（1）设关于l的对称点为，则且，

解得，，即，故直线的方程为．

由，解得．                       --------------------5分

（2）因为，根据椭圆定义，得

，所以．又，所以．所以椭圆的方程为．                                        --------------------10分

（3）假设存在两定点为，使得对于椭圆上任意一点（除长轴两端点）都有（为定值），即?，将代入并整理得…（＊）．由题意，（＊）式对任意恒成立，所以，解之得 或．

所以有且只有两定点，使得为定值．   -------------16分