Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的大小．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵四边形ABCD为正方形，E为PD中点，
∴OE∥PB，
∵OE?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=2，E为PD中点．
∴B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{m}=2a+2b-2c=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{m}=2b-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
设二面角B-PC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角B-PC-D的大小为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．