Question

设f（x）=e^x（mx²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（1）求m的值及f（x）的极值；
（2）证明：当α，β∈[0，

π

2

]时，f（cosα）-f（sinβ）≤e-1．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求m的值，然后当f'（x）＜0时可求函数的单调递减区间，当f'（x）＞0时可求函数的单调递增区间，即可得到极值；
（2）先确定函数f（x）在[0，1]单调增，求出最大值和最小值，即有任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1，即可得证．

解答： （1）解：f'（x）=e^x（mx²+x+1+2mx+1）．
由条件知，f'（1）=0，故m+3+2m=0⇒m=-1．
即有f（x）=e^x（-x²+x+1），
于是f'（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1）．
故当x∈（-∞，-2）或（1，+∞）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，1）时，f'（x）＞0．
从而f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）单调减少，在（-2，1）单调增加．
即有x=-2处f（x）取得极小值，且为-5e^-2，x=1处取得极大值，且为e；
（2）证明：由（1）知f（x）在[0，1]单调增加，
故f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，
最小值为f（0）=1．
从而对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1．
而当α，β∈[0，

π

2

]时，cosα，sinβ∈[0，1]．
从而f（cosα）-f（sinβ）≤e-1．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．同时考查导数的几何意义和运用导数求函数的极值和最值的方法，属于中档题．