已知数列{an}中.已知a1=1.a2=a.an+1=k(an+an+2)对任意n∈N*都成立.数列{an}的前n项和为Sn．(1)若{an}是等差数列.求k的值,(2)若a=1.k=-$\frac{1}{2}$.求Sn,(3)是否存在实数k.使数列{am}是公比不为1的等比数列.且任意相邻三项am.am+1.am+2按某顺序排列后成等差数列?若存在.求出所有k的值,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=a，a_n+1=k（a_n+a_n+2）对任意n∈N*都成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若{a_n}是等差数列，求k的值；
（2）若a=1，k=-$\frac{1}{2}$，求S_n；
（3）是否存在实数k，使数列{a_m}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a_m，a_m+1，a_m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）由等差数列等差中项的性质即可求得k的值；
（2）由a_n+1=$-\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，分类，根据n为偶数或奇数时，分组，即可求得S_n；
（3）方法一：由题意根据等比数列的性质，分别求得q的值，求得任意相邻三项的顺序，即可求得k的值，方法二：分类，根据等差数列的性质，求得a的值，即可求得k的值．

解答解：（1）∵{a_n}是等差数列，则2a_n+1=a_n+a_n+2对任意n∈N*都成立，
又a_n+1=k（a_n+a_n+2）对任意n∈N*都成立，
∴k=$\frac{1}{2}$．
（2）∵a_n+1=$-\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），
a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，
当n是偶数时，
S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）=$\frac{n}{2}$（a₁+a₂）=$\frac{n}{2}$（a+1），
当n是奇数时，
S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n），
=a₁+$\frac{n-1}{2}$（a₂+a₃）=a₁+$\frac{n-1}{2}$[-（a₁+a₂）]=1-$\frac{n-1}{2}$（a+1），n=1也适合上式．
综上可得，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{n-1}{2}（a+1）}&{n为奇数}\\{\frac{n}{2}（a+1）}&{n为偶数}\end{array}\right.$；
（3）方法一：假设存在实数k，使数列{a_m}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a_m，a_m+1，a_m+2按某顺序排列后成等差数列．a_m，a_m+1，a_m+2分别表示为：a_m，a_mq，${a}_{m}{q}^{2}$．
只考虑：1，q，q²（q≠1）的三种排列即可：
1，q，q²；1，q²，q；q²，1，q．可得2q=1+q²，2q²=1+q；2=q²+q．
分别解得q=1；q=1或-$\frac{1}{2}$；q=1或q=-2．
∴只有q=-2满足条件．∴相邻三项a_m，a_m+1，a_m+2分别为：a_m，-2a_m，4a_m．
∴-2a_m=k（a_m+4a_m）．解得k=-$\frac{2}{5}$．
方法二：设数列{a_m}是等比数列，则它的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a，则a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1，…6分 ①若a_m+1为等差中项，则2a_m+1=a_m+a_m+2，即2a^m=a^m-1+a^m+1，解得：a=1，不合题意；
②若a_m为等差中项，则2a_m=a_m+1+a_m+2，即2a^m-1=a^m+a^m+1，化简得：a²+a-2=0，
解得：a=-2或a=1（舍）；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$；
③若a_m+2为等差中项，2a_m+2=a_m+a_m+1，即2a^m+1=a^m-1+a^m，化简得：2a²-a-1=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$；
综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，k=-$\frac{2}{5}$．

点评本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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