Question

20．已知圆C：x²+y²=2，点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．
（1）求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；
（2）在（1）的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA、QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出|PM|=2$\sqrt{2}$，设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，由此能求出结果．
（2）设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为-k，直线QA的方程：y+1=k（x+1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x+1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-1=0，从而求出x_A，x_B，由此能求出直线AB与直线PM垂直．

解答 解：（1）因为点P（2，0），M（0，2），所以|PM|=2$\sqrt{2}$，
设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，
所以${S}_{△QPM}=\frac{1}{2}|PM|•h$=$\sqrt{2}h$．
△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，
此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，
故有最大值h=d+r=$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
最大面积${S}_{△QPM}=\sqrt{2}•2\sqrt{2}=4$，
此时点Q坐标为点（-1，-1）． 
（2）直线AB与直线PM垂直，理由如下：
因为过点Q（-1，-1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，
直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．
设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为-k，
所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x+1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-1=0，
又因为点Q（-1，-1）在圆C上，
故有${x}_{A}•（-1）=\frac{{k}^{2}-2k-1}{1+{k}^{2}}$，
所以x_A=$\frac{-{k}^{2}+2k+1}{1+{k}^{2}}$，同理${x}_{B}=\frac{-{k}^{2}-2k+1}{1+{k}^{2}}$，
${k}_{AB}=\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{B}+1）-1-k（{x}_{A}+1）+1}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{-k（{x}_{B}+{x}_{A}）-2k}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=1，
又k_PM=$\frac{2-0}{0-2}=-1$，所以有k_PM•k_AB=-1，故直线AB与直线PM垂直．

点评 本题考查三角形面积的最大值及对应的点的坐标的求法，考查两直线是否垂直的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程与圆的性质的合理运用．