Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，再将所得函数图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意求出T，利用周期公式求出ω，利用f（$\frac{11}{6}$π）=0，可求φ，又由f（0）=2，得A的值，进而得到函数的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，可得结论．

解答 解：（1）由图得：$\frac{3}{4}$T=$\frac{11}{6}$π-$\frac{π}{3}$=$\frac{9}{6}$π=$\frac{3}{2}$π，（1分）
∴T=2π，（2分）
∴ω=$\frac{2π}{T}$=1．（3分）
又f（$\frac{11}{6}$π）=0，得：Asin（$\frac{11}{6}$π+φ）=0，
∴$\frac{11}{6}$π+φ=2kπ，φ=2kπ-$\frac{11}{6}$π，（4分）
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=1时，φ=$\frac{π}{6}$．（5分）
又由f（0）=2，得：Asinφ=2，A=4，（6分）
∴f（x）=4sin（x+$\frac{π}{6}$）．（7分）
（2）将f（x）=4sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变得到y=4sin（2x+$\frac{π}{6}$），（8分）
再将图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到g（x）=4sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），（9分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：（10分）
kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z），（11分）
∴g（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）．（12分）
$当k=0时，得[{0，\frac{π}{2}}]的递增区间为[{0，\frac{π}{3}}]$．（13分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性的应用，属于中档题．