Question

2．如图在正方体AC₁中，直线BC₁与平面A₁BD所成的角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 设正方体的棱长等于1，建立空间直角坐标系，得出D、B、C₁、A₁各点的坐标，从而得出 $\overrightarrow{B{C}_{1}}$、$\overrightarrow{{A}_{1}D}$、$\overrightarrow{BD}$的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出 $\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）是平面A₁BD的一个法向量，利用向量的夹角公式算出cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞的值，即得直线BC₁与平面A₁BD所成角的正弦值，最后利用同角三角函数关系可得直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值．

解答 解：分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
设正方体的棱长等于1，可得
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{BD}$=（-1，-1，0）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面A₁BD的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得y=z=-1
∴平面A₁BD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）
设直线BC₁与平面A₁BD所成角为θ，则
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题给出正方体模型，求直线与平面所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质、利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题．