Question

6．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论，其中错误的结论是（　　）

• A． AC⊥BD
• B． △ACD是等边三角形
• C． .AB与CD所成的角为60°
• D． AB与平面BCD所成的角为60°

Answer 1

分析 取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．

解答 解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．?∴BD⊥面AEC．?
∴BD⊥AC，故①正确．?
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC．
∴AC=a．?
∴△ACD为等边三角形，故②正确．?
以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，?
则A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0）．??
$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DC}$=（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）．
cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$
∴＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=60°，故③正确．
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故④不正确．?
故选：D．

点评 本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键．