Question

16．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x≠1时，有（x-1）•f′（x）＜0，设a=f（tan$\frac{5}{4}$π），b=f（log₃2），c=f（0.2^-3），则（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． b＜c＜a
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 由函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2-x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性，比较a=f（tan$\frac{5}{4}$π），b=f（log₃2），c=f（0.2^-3）的大小．

解答 解：∵函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2-x），
令x=x+1，则f（x+1）=f[2-（x+1）]=f（-x+1），
∴函数f（x）的图象关于x=1对称；
当x≠1时，有（x-1）•f′（x）＜0，
∴x＞1时，f′（x）＜0，x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
∵0＜${log}_{3}^{2}$＜tan$\frac{5π}{4}$=1＜0.2^-3，
∴f（tan$\frac{5}{4}$π）＞f（log₃2）＞f（0.2^-3），
∴c＜b＜a．
故选：D．

点评 本题考查利用导数研究函数单调性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．