Question

4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=6，cos∠ADC=-$\frac{1}{3}$．
（1）若∠CAB=$\frac{π}{4}$，求AC的长；
（2）若BD=9，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用梯形的性质，同角三角的基本关系，求得sin∠ADC、以及∠ACD的值，再利用正弦定理求得AC．
（2）利用诱导公式求得cos∠DAB，利用同角三角的基本关系求得sin∠DAB，△ABD中，由余弦定理求得AB，从而求得△ABD的面积为$\frac{1}{2}$•AD•AB•sin∠DAB 的值．

解答 解：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=6，cos∠ADC=-$\frac{1}{3}$，
∴sin∠ADC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∠ACD=∠CAB=$\frac{π}{4}$．
△ACD中，由正弦定理可得 $\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{AD}{sin∠ACD}$，即 $\frac{AC}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{6}{sin\frac{π}{4}}$，∴AC=8．
（2）若BD=9，∵∠DAB=π-∠ADC，
∴cos∠DAB=-cos∠ADC=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠DAB=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠DAB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
△ABD中，由余弦定理可得BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cos∠DAB，
即 81=36+AB²-2•6•AB•$\frac{1}{3}$，∴AB=9，
∴△ABD的面积为$\frac{1}{2}$•AD•AB•sin∠DAB=$\frac{1}{2}$•6•9•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=18$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查梯形的性质，同角三角的基本关系、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．