Question

20．已知（x+1）²（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ的展开式中没有x²项，n∈N^*，且5≤n≤8，则n=7．

Answer 1

分析 先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2时方程无解，检验求得n的值．

解答 解：∵（x+1）²（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ=（1+2x+x²）（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ 的展开式中没有x²项，
∴（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ 的展开式中不含常数项，不含x项，不含x²项．
∵（x+$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ 的展开式中展开式的通项为T_r+1=C_n^r x^n-r x^-3r=C_n^rx^n-4r，r=0，1，2，3…n，
方程n-4r=0，n-4r=1，n-4r=2，当n∈N^*，5≤n≤8时，无解，检验可得n=7，
故答案为：7．

点评 本题考查数学中的等价转化的能力和利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项，属于中档题．