Question

8．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$则此函数的“友好点对”有2对．

Answer 1

分析 根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=-x²-4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log₂x（x＞0）交点个数即可．

解答 解：根据题意：当x＞0时，-x＜0，
则f（-x）=-（-x）²-4（-x）=-x²+4x，
可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x²-4x，
则函数y=-x²-4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x²-4x
由题意知，作出函数y=x²-4x（x＞0）的图象，
看它与函数f（x）=log₂x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图：
观察图象可得：它们的交点个数是：2，即f（x）的“友好点对”有：2个．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决，属于中档题