Question

（本小题满分14分）已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2

（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；

（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2） （3）

【解析】

试题分析：（1）当时，，解得，，所以函数的不动点为.

（2）因为对于任意实数，函数有两个不同的不动点，所以对于任意实数，方程恒有两个不相等的实根，即方程恒有两个不相等的实根，所以，即对于任意实数，，所以，解得。

（3）设函数的两个不动点为，则，且是方程的两个不等根，所以，直线的斜率为，线段的中点坐标为，因为直线是线段的垂直平分线，所以，且在直线上，则，，所以，当且仅当时等号成立，又，所以实数的取值范围是。

考点：新定义问题、函数与方程、直线方程、基本不等式。