Question

已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）,（2）当时，在上单调递减,若，单调递增区间为和，单调递减区间为．若，在上单调递增．（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用导数几何意义求切线斜率，根据点斜式写切线过程. 函数的定义域为，．当时，函数，，．所以曲线在点处的切线方程为,即．（2）利用导数研究函数单调性，关键明确导函数零点与定义域的关系，正确判断导数符号. 当时，,,当时,若，由，即，得或；由，即，得．若，,.（3）存在性问题，利用变量分离转化为求函数最值. 因为，等价于.令，等价于“当 时，”. 因为当时，，所以，因此.

函数的定义域为，． 1分

（1）当时，函数，，．

所以曲线在点处的切线方程为，

即． 4分

（2）函数的定义域为．

1.当时，在上恒成立，

则在上恒成立，此时在上单调递减． 5分

2.当时，，

（ⅰ）若，

由，即，得或； 6分

由，即，得． 7分

所以函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为． 9分

（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． 10分

（3）因为存在一个使得，

则，等价于. 12分

令，等价于“当 时，”.

对求导，得. 13分

因为当时，，所以在上单调递增.

所以，因此. 16分

另【解析】
设，定义域为，

.

依题意，至少存在一个，使得成立，

等价于当 时，. 11分

（1）当时，

在恒成立，所以在单调递减，只要，

则不满足题意. 12分

（2）当时，令得.

（ⅰ）当，即时，

在上，所以在上单调递增，

所以，由得，，所以. 13分

（ⅱ）当，即时，

在上，所以在单调递减，

所以，由得. 14分

（ⅲ）当，即时， 在上，在上，

所以在单调递减，在单调递增，

，等价于或，解得，所以，. 15分

综上所述，实数的取值范围为. 16分

考点：利用导数求切线方程，利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值