Question

6．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ） 令${b_n}=\frac{n+1}{S_n^2}（n∈{N^*}）$，证明：对于任意的n∈N^*，数列{b_n}的前n项和${T_n}＜\frac{5}{16}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过等差数列的性质及已知条件可知a₉=19，进而可求出公差d，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）裂项可知b_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，进而并项相加、放缩即得结论．

解答 （Ⅰ）解：∵数列{a_n}为等差数列，
∴a₃+a₉=a₅+a₇=26，
又∵a₃=7，
∴a₉=19，d=$\frac{{a}_{9}-{a}_{3}}{9-3}$=$\frac{19-7}{9-3}$=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=7+2n-6=2n+1，
S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）；
（Ⅱ）证明：由（I）可知b_n=$\frac{n+1}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，
则T_n=$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
＜$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）
=$\frac{5}{16}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．