Question

7．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC．，
（1）求$\frac{a}{c}$的值；
（2）若M为边BC的中点，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AC}=9{sin^2}A$，求角B的大小．

Answer 1

分析 （1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，⇒sinAcosC-cosAsinCsin（A-C）=0，即可得a=c，即可．
（2）由$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AC}=9{sin^2}A$?$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=9si{n}^{2}A$⇒$\frac{1}{2}{b}^{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}{b}^{2}=\frac{9{a}^{2}}{4}$⇒b=$\sqrt{3}a$，即可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{2{a}^{2}-3{a}^{2}}{2{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由△ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，
∴sinB=acosC变形为：sin（A+C）=2sinAcosC
⇒sinAcosC-cosAsinC=0
sin（A-C）=0，∵A-C∈（-π，π），∴A-C=0，
∴a=c，∴$\frac{a}{c}$的值为1
（2）∵M为边BC的中点，∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AC}=9{sin^2}A$?$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=9si{n}^{2}A$
又∵$sinA=\frac{a}{2R}=\frac{a}{2}$，a=c
∴$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=9si{n}^{2}A$⇒$\frac{1}{2}{b}^{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}{b}^{2}=\frac{9{a}^{2}}{4}$⇒b=$\sqrt{3}a$
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{2{a}^{2}-3{a}^{2}}{2{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴角B的大小为$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想，属于中档题．