Question

利用定积分计算椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)所围成的面积．

Answer 1

分析：依据椭圆的对称性，只要求出椭圆在第一角限内部分的面积即可，利用定积分的几何意义，即求出s=4

∫

a 0

ydx=4

∫

a 0

a

b

a2-x2

dx即得．

解答：解：因为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1关于x轴和y轴都是对称的，
所以所求之面积为s=4

∫

a 0

ydx=4

∫

a 0

a

b

a2-x2

dx
令x=asinθ．(0≤θ≤

π

2

)
则

a2-x2

=

a2-a2sin2θ

=acosθ，
dx=acosθdθ
∴s=4

∫

π 2 0

b

a

•a•cosθ•a•cosθdθ=4ab

∫

π 2 0

(cosθ)2dθ=4ab

∫

π 2 0

1+cos2θ

2

dθ
=2ab[

π

2

+

∫

π 2 0

cos2θdθ]=2ab•

π

2

=πab．

点评：运用定积分求面积，其关键是确定出被积函数和积分的上、下限．一般是应先根据题意，借助图形的直观性确定出被积函数，求出两条曲线的交点的坐标确定积分的上、下限，进而由定积分求出其面积．