Question

9．如图，在多面体EF-ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=$\frac{π}{2}$，DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（1）求证：DF⊥平面ABCD；
（2）若△ABD是边长为2的等边三角形，且BF与平面ABCD所成角的正切值为1，求点E到平面BDF的距离．

Answer 1

分析 （1）由∠ABE=∠ABC=$\frac{π}{2}$可得AB⊥平面BCE，于是EF⊥平面BCE，从而EF⊥CE，故四边形CDFE为矩形，于是D⊥CD，根据面面垂直的性质得出DF⊥平面ABCD；
（2）连接BD，DE，则∠FBD为BF与平面ABCD所成角，故而得出DF=BD=2，计算出BC，CD，根据V_B-DEF=V_E-BDF列方程即可得出点E到平面BDF的距离．

解答 证明：（1）∵$∠ABE=∠ABC=\frac{π}{2}$，
∴AB⊥BE，AB⊥BC，又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B，
∴AB⊥平面BCE，∵EF∥AB，
∴EF⊥平面BCE，∵CE?平面BCE，
∴EF⊥CE．又四边形CDFE是平行四边形，
∴四边形CDFE是矩形，
∴DF⊥DC．
又平面DCEF⊥平面ABCD，且平面ABCD∩平面CDFE=CD，DF?平面CDFE，
∴DF⊥平面ABCD．
（2）连接BD，DE．
∵△ABD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=$\frac{π}{2}$，
∴$BD=2，CD=1，BC=\sqrt{3}$．
由（1）得DF⊥平面ABCD，∴∠FBD为BF与平面ABCD所成角的角，
∴tan∠FBD=1，即DF=BD=2．
∴V_B-DEF=$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
设E到平面BDF的距离为d，则V_E-BDF=$\frac{1}{3}{S}_{△BDF}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×d$=$\frac{2d}{3}$
∵V_B-DEF=V_E-BDF，∴$\frac{2d}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$d=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间距离的计算，属于中档题．