Question

19．春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D获得火车票的概率分别是${p_1}，\frac{1}{2}，{p_3}，\frac{1}{4}$，其中p₁＞p₃，又${p_1}，\frac{1}{2}，2{p_3}$成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是$\frac{1}{2}$．
（1）求p₁，p₃的值；
（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．

Answer 1

分析 （1）由A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是$\frac{1}{2}$，列出方程组，能求出p₁，p₃的值．
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）∵A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是$\frac{1}{2}$，
∴$（1-{p_1}）{p_3}+{p_1}（1-{p_3}）=\frac{1}{2}$…（1分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{2{p}_{1}{p}_{3}=\frac{1}{4}}\\{（1-{p}_{1}）{p}_{3}+{p}_{1}（1-{p}_{3}）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，…（3分）
由p₁＞p₃，解得${p_1}=\frac{1}{2}，{p_3}=\frac{1}{4}$．…（5分）
（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，
$P（X=0）={（1-\frac{1}{2}）^2}（1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4}）=\frac{15}{64}$…（6分）
$P（X=1）=C_2^1×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4}）=\frac{30}{64}=\frac{15}{32}$…（7分）
$P（X=2）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4}）+（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$…（8分）
$P（X=3）=C_2^1×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{2}{64}=\frac{1}{32}$…（9分）
$P（X=4）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{64}$…（10分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{15}{64}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{32}$	$\frac{1}{64}$

…（11分）
$EX=0×\frac{15}{64}+1×\frac{15}{32}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{32}+4×\frac{1}{64}=\frac{9}{8}$…（12分）

点评 本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解答本题的关键是正确理解离散型随机变量的分布列的性质，是中档题．