Question

8．已知函数y=f（x），若在区间I内有且只有一个实数c（c∈I），使得f（c）=0成立，则称函数y=f（x）在区间I内具有唯一零点．
（1）判断函数f（x）=log₂|x|在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由；
（2）已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（sin2x，cos2x），x∈（0，π），证明f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+1在区间（0，π）内具有唯一零点；
（3）若函数f（x）=x²+2mx+2m在区间（-2，2）内具有唯一零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，根据零点个数判断；
（2）令f（x）=0，解出f（x）的零点在（0，π）上个数；
（3）根据二次函数的对称轴和区间（-2，2）的关系讨论f（x）的单调性，列出不等式组解出．

解答 解：（1）∵f（1）=f（-1）=0．
∴函数f（x）=log₂|x|在定义域内不具有唯一零点．
（2）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令f（x）=0得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1，∴2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得x=-$\frac{π}{3}$+kπ．k∈Z．
{x|x=-$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}∩（0，π）={$\frac{2π}{3}$}．
∴f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+1$在区间（0，π）内具有唯一零点．
（3）f（x）=x²+2mx+2m=（x+m）²+2m-m²．
的图象的对称轴为x=-m．
①当-m≤-2即m≥2时，f（x）在区间（-2，2）上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4-2m＜0}\\{4+6m＞0}\end{array}\right.$，解得m＞2．
②当-2＜-m＜2即-2＜m＜2时，若使函数在开区间（-2，2）内具有唯一零点，则f_min（x）=2m-m²≤0，所以m≤0．
当m=0时，显然符合题意；
当-2＜m＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4-2m＞0}\\{4+6m≤0}\end{array}\right.$，解得-2$＜m≤-\frac{2}{3}$．
3）当-m≥2即m≤-2时，f（x）在区间（-2，2）上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{4-2m＞0}\\{4+6m＜0}\end{array}\right.$，解得m≤-2．
综上，实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪（2，+∞）∪{0}．

点评 本题考查了函数零点的个数判断，平面向量的数量级运算，属于中档题．