Question

棱长为2的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则d₁+d₂+d₃+d₄的值为

 

．

Answer 1

分析：根据等积法可知，四个小棱锥的体积和为正四面体的条件，即d₁+d₂+d₃+d₄的值等于正四面体的高．

解答：解：设正四面体为ABCD，过A作底面的射影O，则O为底面正三角形的中心．
则根据等积法可知V_P-ABC+V_P-ABD+V_P-ACD+V_P-BCD=V_A-BCD，
∴

1

3

S△BCD•（d₁+d₂+d₃+d₄）=

1

3

S△BCD•AO，
即d₁+d₂+d₃+d₄=AO．
∵BC=2，∴BE=

3

，OB=

2

3

BE=

2 3

3

，
∴AO=

AB2-BO2

=

22-( 2 3 3 )2

=

4- 4 3

=

8 3

=

2 6

3

，
即d₁+d₂+d₃+d₄=AO=

2 6

3

．
故答案为：

2 6

3

．

点评：本题主要考查正四面体的应用，利用体积相等得到d₁+d₂+d₃+d₄的值等于正四面体的高是解决本题的关键．