Question

12．已知函数f（x）=x-lnx+h在区间$[{\frac{1}{e}，{e^2}}]$上任取三个实数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（　　）

• A． （-∞，e²）
• B． （-∞，e²-4）
• C． （e²，+∞）
• D． （e²-4，+∞）

Answer 1

分析 任取三个实数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，从而2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_max＞0，由此能求出实数h的取值范围．

解答 解：任取三个实数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，
等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，
∴2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_max＞0，
令${f}^{'}（x）=-\frac{1}{x}+1=0$，解得x=1，
当$\frac{1}{e}＜x＜1$时，f′（x）＜0，
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，
∴当x=1时，f（x）_min=f（1）=1+h，
f（x）_max=max{f（$\frac{1}{e}$），f（e²）}=max{$\frac{1}{e}+1+h$，e²-2+h}，
从而得到$\left\{\begin{array}{l}{2（1+h）＞{e}^{2}-2+h}\\{1+h＞0}\end{array}\right.$，
解得h＞e²-4．
∴实数h的取值范围是（e²-4，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查导数的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．