Question

已知p：

x-10

x+2

＜0，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），
（1）若非p 是q 的充分不必要条件，求实数a组成的集合M．
（2）对于M中的一切实数x，不等式（x-2）m＜2x-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解不等式

x-10

x+2

＜0可得p为真命题时x的取值范围，进而得到?p成立时，x的取值范围，记作集合A；解不等式x²-2x+1-a²≥0可得q为真时，x的取值范围记作集合B，进而根据非p 是q 的充分不必要条件，得到A?B，并由此构造关于a的不等式，求出实数a组成的集合M．
（2）构造函数f（x）=（x-2）m-（2x-1），由不等式（x-2）m＜2x-1恒成立，可得f（0）≤0且f（3）＜0，进而求出实数m的取值范围．

解答：（1）解：解

x-10

x+2

＜0得：-2＜x＜10
∴?p：A={x|x≥10，或x≤-2}
解x²-2x+1-a²≥0得x≥1+a，或x≤1-a，
记B={x|x≥1+a，或x≤1-a}
若非p 是q 的充分不必要条件，
则?p⇒q，
∴A?B，即

1-a＞-2 1+a≤10 a＞0

或

1-a≥-2 1+a＜10 a＞0

，
解得M={a|0＜a≤3}
（2）解：若设f（x）=（x-2）m-（2x-1）=（m-2）x+（1-2m），
把它看成是关于x的直线，
若不等式（x-2）m＜2x-1恒成立，
则直线恒在x的轴的下方．
∴f（0）≤0且f（3）＜0
解得：

1

2

≤m＜5

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，充要条件，分式不等式和二次不等式，集合的包含关系，难度中档．