Question

9．在数列{a_n}中，a_n+1-9a_n=9ⁿ⁺¹，a₁=9．
（1）求a_n；
（2）设b_n=a_n（1+$\frac{2}{{9}^{n}}$）-1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）对等式两边除以9ⁿ⁺¹，运用等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；
（2）求得b_n=n•9ⁿ+（2n-1），运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）a_n+1-9a_n=9ⁿ⁺¹，a₁=9．
可得$\frac{{a}_{n+1}}{{9}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{9}^{n}}$=1，
即有数列{$\frac{{a}_{n}}{{9}^{n}}$}为首项为1，公差为1的等差数列，
可得$\frac{{a}_{n}}{{9}^{n}}$=1+（n-1）=n，
即有a_n=n•9ⁿ；
（2）b_n=a_n（1+$\frac{2}{{9}^{n}}$）-1=n•9ⁿ•（1+$\frac{2}{{9}^{n}}$）-1
=n•9ⁿ+（2n-1），
可得前n项和S_n=（1•9+2•9²+…+n•9ⁿ）+（1+3+…+2n-1）．
设T_n=1•9+2•9²+…+n•9ⁿ，
9T_n=1•9²+2•9³+…+n•9ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-8T_n=9+9²+…+9ⁿ-n•9ⁿ⁺¹
=$\frac{9（1-{9}^{n}）}{1-9}$-n•9ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=$\frac{{9}^{n+1}}{64}$（8n-1）+$\frac{9}{64}$，
则S_n=T_n+$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）
=$\frac{{9}^{n+1}}{64}$（8n-1）+$\frac{9}{64}$+n²．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用构造数列，结合等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．