Question

12．若直线2mx-ny-2=0（m＞0，n＞0）过点（1，-2），则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 6
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 通过直线2mx-ny-2=0（m＞0，n＞0）过点（1，-2）得出m+n=1，将$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$与m+n相乘，化简，运用基本不等式即可求出最小值．

解答 解：∵直线2mx-ny-2=0（m＞0，n＞0）过点（1，-2），
∴将点（1，-2）代入直线方程，得：m+n=1，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）•1=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）•（m+n）=$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10
∵m＞0，n＞0
∴$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10≥2$\sqrt{\frac{9m}{n}•\frac{n}{m}}$+10=16，
当且仅当n=3m=$\frac{3}{4}$时，取得等号．
∴$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10的最小值为16．
即$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$的最小值为16．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式的运用和在最值问题中的应用，注意乘1法的运用，考查计算能力，属于中档题．