题目内容
12．已知数列{an}，{bn}满足a1=$\frac{1}{2}$，an+bn=1，bn+1=$\frac{b_n}{1-a_n^2}$（n∈N*），则b2017=$\frac{2017}{2018}$．分析 计算可得b1=$\frac{1}{2}$，b2=$\frac{2}{3}$，b3=$\frac{3}{4}$；从而猜想bn=$\frac{n}{n+1}$，利用数学归纳法证明即可求得．
解答 解：∵a1=$\frac{1}{2}$，an+bn=1，
∴a1=$\frac{1}{2}$，b1=$\frac{1}{2}$，
∵bn+1=$\frac{b_n}{1-a_n^2}$
=$\frac{{b}_{n}}{1-（1-{b}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$，
∴b2=$\frac{2}{3}$，b3=$\frac{3}{4}$；
猜想bn=$\frac{n}{n+1}$，利用数学归纳法证明如下，
当n=1时，由以上知，显然成立；
假设当n=k时成立，即bk=$\frac{k}{k+1}$，
则bk+1=$\frac{1}{2-{b}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$，
即当n=k+1时也成立；
故b2017=$\frac{2017}{2018}$，
故答案为：$\frac{2017}{2018}$．
点评 本题考查了数列的递推式的推导与应用，同时考查了数学归纳法的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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2．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=$\left\{\begin{array}{l}C（A）-C（B），当C（A）≥C（B）\\ C（B）-C（A），当C（A）＜C（B）\end{array}$，若A={x|x2-ax-2=0，a∈R}，B={x||x2+bx+2|=2，b∈R}，且A*B=2，则b的取值范围（ ）
| A． | b≥2$\sqrt{2}$或b≤-2$\sqrt{2}$ | B． | b＞2$\sqrt{2}$或b＜-2$\sqrt{2}$ | C． | b≥4或b≤-4 | D． | b＞4或b＜-4 |
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=$\sqrt{2}$，AB=1，AD=m（m＞0），E为BC的中点，且∠A1ED=90°