Question

13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的一个最高点坐标是$（\frac{π}{12}，1）$，相邻的两对称中心的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．

Answer 1

分析 （1）由相邻的两对称中心的距离为$\frac{π}{2}$，可求周期，利用周期公式可求ω，由$f（\frac{π}{12}）=sin（\frac{π}{6}+φ）=1$，结合范围|φ|＜π，可求$φ=\frac{π}{3}$，从而可求函数解析式．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．
解法一：按照纵坐标不变先φ（左、右平移），纵坐标不变，横坐标向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再ω，就是横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍；
解法二：将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），再将图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，是先ω，再φ的变换过程．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为f（x）相邻的两对称中心的距离为$\frac{π}{2}$，
所以$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，即T=π（1分）
所以$ω=\frac{2π}{T}=2$（2分）
所以f（x）=sin（2x+φ）
因为$f（\frac{π}{12}）=sin（\frac{π}{6}+φ）=1$，
所以$φ=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$（3分）
因为|φ|＜π，所以$φ=\frac{π}{3}$（4分）
所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$（6分）
（2）解法一：
将函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左平移$\frac{π}{3}$个单位（8分）
得到$y=sin（x+\frac{π}{3}）$的图象（9分）
然后将$y=sin（x+\frac{π}{3}）$的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（11分）
得到$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象（12分）
解法二：将函数y=sinx的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$（8分）
得到y=sin2x的图象（9分）
然后将y=sin2x的图象纵坐标不变横坐标向左平移$\frac{π}{6}$个单位（11分）
得到$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．