Question

7．已知函数$f（x）=（{e^x}-\frac{1}{e^x}）{x^3}$，若实数a满足f（log₂a）+f（log_0.5a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{2}）∪（2，+∞）$
• B． $（-∞，\frac{1}{2}]∪[2，+∞）$
• C． $[\frac{1}{2}，2]$
• D． $（\frac{1}{2}，2）$

Answer 1

分析 可判函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，原不等式可化为|log₂a|≤1，由对数函数的单调性可解．

解答 解：∵$f（x）=（{e^x}-\frac{1}{e^x}）{x^3}$，∴f（-x）=（$\frac{1}{{e}^{x}}$-e^x）（-x）³
=（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）x³=f（x），∴f（x）为偶函数，
不等式f（log₂a）+f（log_0.5a）≤2f（1），
等价为f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），即f（log₂a）≤f（1），
又当x＞0时f′（x）=（e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$）x³+3（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）x²＞0
∴函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴不等式f（log₂a）≤f（1）可化为|log₂a|≤1，
即-1≤log₂a≤1，由对数函数的单调性可得$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数的奇偶性和对数的性质，属中档题．